Как найти среднюю молярную массу смеси газов

Как найти среднюю молярную массу смеси газов

РАЗДЕЛ И. ОБЩАЯ ХИМИЯ

Примеры решения типовых задач

V. Определение средней молярной массы смеси газов

Формулы и понятия, которые используются:

где М(смеси) – средняя молярная масса смеси газов,

М(А), М(Б), М(В) – молярные массы компонентов смеси А, Б и В,

χ(А), χ(B), χ(В) – мольные доли компонентов смеси А, Б и В,

φ(А), φ(B), φ(В) – объемные доли компонентов смеси А, Б и В,

М(пов.) – молярная масса воздуха, г/моль,

М _r (пов.) – относительная молекулярная масса воздуха.

Задача 23. Вычислите молярну массу смеси, в которой объемные доли метана и бутана соответственно составляют 85 и 15%.

Молярная масса смеси – это масса всех ее составляющих, взятых в суммарном количестве вещества смеси 1 моль (М(СН ₄ ) = 16 г/моль, М(С₄Н₁₀) = 58 г/моль). Вычислить среднюю молярну массу смеси можно по формуле:

Ответ: М(смеси) = 22 , 3 г/моль.

Задача 24. Определите плотность газовой смеси с азотом, в которой объемные доли карбон(И V ) оксида, сульфур(И V ) оксида и карбон(II) оксида соответственно составляют 35,25 и 40 %.

1. Вычислим молярну массу смеси (М(С O ₂ ) = 44 г/моль, M ( SO ₂ ) = 64 г/моль, М(СО) = 28 г/моль):

2. Вычислим относительную плотность смеси с азотом:

Ответ: D_N2 (смеси) = 1,52.

Задача 25. Плотность смеси ацетилена и бутену за гелием равна 11. Определите объемную долю ацетилена в смеси.

1. По формуле определим молярну массу смеси (М(Не) = 4 г/моль):

2. Предположим, что мы имеем 1 моль смеси. В ней содержится х моль С₂Н₂, тогда в соответствии

3. Запишем выражение для вычисления средней молярной массы газовой смеси:

Подставим все известные данные: М(С₂Н₂) = 26 г/моль, М(С₄Н₈) = 56 г/моль:

4. Следовательно, 1 моль смеси содержит 0,4 моль С₂Н₂. Вычислим мольну долю χ(С₂Н₂):

Для газов φ(Х) = χ(Х). Следовательно, φ(С₂Н₄) = 40 %.

ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ ХИМИЮ

Электронное учебное пособие
Москва 2013

2. Ocновные понятия и законы химии. Атомно-молекулярное учение

2.10. Примеры решения задач

2.10.1. Расчет относительных и абсолютных масс атомов и молекул

Относительные массы атомов и молекул определяются с использованием приведенных в таблице Д.И. Менделеева величин атомных масс. При этом, при проведении расчетов для учебных целей значения атомных масс элементов обычно округляются до целых чисел (за исключением хлора, атомная масса которого принимается равной 35,5).

Пример 1. Относительная атомная масса кальция А_r(Са)=40; относительная атомная масса платины А_r(Pt)=195.

Относительная масса молекулы рассчитывается как сумма относительных атомных масс составляющих данную молекулу атомов с учетом количества их вещества.

Пример 2. Относительная молярная масса серной кислоты:

Величины абсолютных масс атомов и молекул находятся делением массы 1 моль вещества на число Авогадро.

Пример 3. Определите массу одного атома кальция.

Решение. Атомная масса кальция составляет А_r(Са)=40 г/моль. Масса одного атома кальция окажется равной:

m(Ca)= А_r(Ca) : N_A =40 : 6,02·10 23 = 6,64·10 -23 г.

Пример 4. Определите массу одной молекулы серной кислоты.

Решение. Молярная масса серной кислоты равна М_r(H₂SO₄) = 98. Масса одной молекулы m(H₂SO₄) равна:

2.10.2. Расчет количества вещества и вычисление числа атомных и молекулярных частиц по известным значениям массы и объема

Количество вещества определяется путем деления его массы, выраженной в граммах, на его атомную (молярную) массу. Количество вещества, находящегося в газообразном состоянии при н.у., находится делением его объема на объем 1 моль газа (22,4 л).

Пример 5. Определите количество вещества натрия n(Na), находящегося в 57,5 г металлического натрия.

Решение. Относительная атомная масса натрия равна А_r(Na)=23. Количество вещества находим делением массы металлического натрия на его атомную массу:

Пример 6 . Определите количество вещества азота, если его объем при н.у. составляет 5,6 л.

Решение. Количество вещества азота n(N ₂) находим делением его объема на объем 1 моль газа (22,4 л):

Число атомов и молекул в веществе определяется умножением количества вещества атомов и молекул на число Авогадро.

Пример 7. Определите число молекул, содержащихся в 1 кг воды.

Решение. Количество вещества воды находим делением ее массы (1000 г) на молярную массу (18 г/моль):

Число молекул в 1000 г воды составит:

N(Н₂О) = 55,5·6,02·10 23 = 3,34·10 24 .

Пример 8. Определите число атомов, содержащихся в 1 л (н.у.) кислорода.

Решение. Количество вещества кислорода, объем которого при нормальных условиях составляет 1 л равно:

n(О₂) = 1 : 22,4 = 4,46·10 -2 моль.

Число молекул кислорода в 1 л (н.у.) составит:

N(О₂) = 4,46·10 -2 · 6,02·10 23 = 2,69·10 22 .

Следует отметить, что 26,9·10 22 молекул будет содержаться в 1 л любого газа при н.у. Поскольку молекула кислорода двухатомна, число атомов кислорода в 1 л будет в 2 раза больше, т.е. 5,38·10 22 .

2.10.3. Расчет средней молярной массы газовой смеси и объемной доли
содержащихся в ней газов

Средняя молярная масса газовой смеси рассчитывается на основе молярных масс составляющих эту смесь газов и их объемных долей.

Пример 9. Полагая, что содержание (в объемных процентах) азота, кислорода и аргона в воздухе соответственно составляет 78, 21 и 1, рассчитайте среднюю молярную массу воздуха.

Решение.

М_возд = 0,78·М_r(N₂)+0,21·М_r (O₂)+0,01·М_r(Ar)= 0,78·28+0,21·32+0,01·40 = 21,84+6,72+0,40=28,96

или приблизительно 29 г/моль.

Пример 10. Газовая смесь содержит 12 л NH₃, 5 л N₂ и 3 л Н₂, измеренных при н.у. Рассчитать объемные доли газов в этой смеси и ее среднюю молярную массу.

Решение. Общий объем смеси газов равен V=12+5+3=20 л. Объемные доли j газов окажутся равными:

Средняя молярная масса рассчитывается на основе объемных долей составляющих эту смесь газов и их молекулярных масс:

М=0,6·М(NH₃)+0,25·M(N₂)+0,15·M(H₂) = 0,6·17+0,25·28+0,15·2 = 17,5.

2.10.4. Расчет массовой доли химического элемента в химическом соединении

Массовая доля ω химического элемента определяется как отношение массы атома данного элемента Х, содержащегося в данной массе вещества к массе этого вещества m. Массовая доля – безразмерная величина. Ее выражают в долях от единицы:

ω(X) = m(X)/m (0 о С и давлении 200 кПа масса 3,0 л газа составляет 6,0 г. Определите молярную массу этого газа.

Решение. Подставляя известные величины в уравнение Клапейрона–Менделеева получаем:

М = mRT/PV = 6,0·8,31·313/(200·3,0)= 26,0.

Рассматриваемый газ – ацетилен С₂Н₂.

Пример 17. При сгорании 5,6 л (н.у.) углеводорода получено 44,0 г углекислого газа и 22,5 г воды. Относительная плотность углеводорода по кислороду равна 1,8125. Определите истинную химическую формулу углеводорода.

Решение. Уравнение реакции сгорания углеводорода можно представить следующим образом:

Количество углеводорода составляет 5,6:22,4=0,25 моль. В результате реакции образуется 1 моль углекислого газа и 1,25 моль воды, которая содержит 2,5 моль атомов водорода. При сжигании углеводорода количеством вещества 1 моль получается 4 моль углекислого газа и 5 моль воды. Таким образом, 1 моль углеводорода содержит 4 моль атомов углерода и 10 моль атомов водорода, т.е. химическая формула углеводорода С₄Н₁₀. Молярная масса этого углеводорода равна М=4·12+10=58. Его относительная плотность по кислороду D=58:32=1,8125 соответствует величине, приведенной в условии задачи, что подтверждает правильность найденной химической формулы.

Если идеальные газы находятся в сообщающихся баллонах, разделенных краном, то при открытии крана газы в баллонах смешиваются между собой и каждый из них заполняет объем обоих баллонов.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах , при открытии крана некоторые параметры становятся одинаковыми:

• давление газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

• газ (или смесь газов) после открытия крана занимает весь предоставленный ему объем, т.е. объем обоих сосудов:

где V ₁ — объем первого баллона; V ₂ — объем второго баллона;

• температура газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

• плотность газа ρ и его концентрация n в обоих баллонах становятся одинаковыми:

ρ = const, n = const,

Если баллоны имеют одинаковый объем , то массы газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми :

m ′ 1 = m ′ 2 = m ′ = m 1 + m 2 2 ,

где m ′ 1 — масса газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; m ′ 2 — масса газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; m ′ — масса газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; m ₁ — масса газа в первом баллоне до открытия крана; m ₂ — масса газа во втором баллоне до открытия крана.

Масса газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение массы газа в первом баллоне

Δ m 1 = | m ′ 1 − m 1 | = | m 1 + m 2 2 − m 1 | = | m 2 − m 1 | 2 ;

• изменение массы газа во втором баллоне

Δ m 2 = | m ′ 2 − m 2 | = | m 1 + m 2 2 − m 2 | = | m 1 − m 2 | 2 .

Изменения массы газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы :

Δ m 1 = Δ m 2 = Δ m = | m 2 − m 1 | 2 ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большей массой газа — столько же газа пришло в баллон с меньшей массой.

Если баллоны имеют одинаковый объем , то количества газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми :

ν ′ 1 = ν ′ 2 = ν ′ = ν 1 + ν 2 2 ,

где ν ′ 1 — количество газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; ν ′ 2 — количество газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; ν′ — количество газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; ν₁ — количество газа в первом баллоне до открытия крана; ν₂ — количество газа во втором баллоне до открытия крана.

Количество газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение количества газа в первом баллоне

Δ ν 1 = | ν ′ 1 − ν 1 | = | ν 1 + ν 2 2 − ν 1 | = | ν 2 − ν 1 | 2 ;

• изменение количества газа во втором баллоне

Δ ν 2 = | ν ′ 2 − ν 2 | = | ν 1 + ν 2 2 − ν 2 | = | ν 1 − ν 2 | 2 .

Изменения количества газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы :

Δ ν 1 = Δ ν 2 = Δ ν = | ν 2 − ν 1 | 2 ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большим количеством газа — столько же газа пришло в баллон с меньшим количеством.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана давление становится одинаковым:

и определяется по закону Дальтона (для смеси газов) —

где p ₁, p ₂ — парциальные давления компонентов смеси.

Парциальные давления компонентов смеси могут быть рассчитаны следующим образом:

• с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона; тогда давление определяется формулой

p = ( ν 1 + ν 2 ) R T V 1 + V 2 ,

где ν₁ — количество вещества первого компонента смеси; ν₂ — количество вещества второго компонента смеси; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; V ₁ — объем первого баллона; V ₂ — объем второго баллона;

• с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории; тогда давление определяется формулой

p = ( N 1 + N 2 ) k T V 1 + V 2 ,

где N ₁ — количество молекул первого компонента смеси; N ₂ — количество молекул второго компонента смеси; k — постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10 −23 Дж/К.

Пример 26. Определить среднюю молярную массу смеси газов, состоящей из 3,0 кг водорода, 1,0 кг гелия и 8,0 кг кислорода. Молярные массы водорода, гелия и кислорода равны 2,0, 4,0 и 32 г/моль соответственно.

Решение . Средняя молярная масса смеси определяется формулой

где m — масса смеси; ν — количество вещества в смеси.

Массу смеси найдем как сумму масс —

где m ₁ — масса водорода; m ₂ — масса гелия; m ₃ — масса кислорода.

Аналогично найдем количество вещества —

где ν₁ — количество водорода в смеси, ν₁ = m ₁/ M ₁; M ₁ — молярная масса водорода; ν₂ — количество гелия в смеси, ν₂ = m ₂/ M ₂; M ₂ — молярная масса гелия; ν₃ — количество кислорода в смеси, ν₃ = m ₃/ M ₃; M ₃ — молярная масса кислорода.

Подстановка выражений для массы и количества вещества в исходную формулу дает

〈 M 〉 = m 1 + m 2 + m 3 ν 1 + ν 2 + ν 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 1 M 1 + m 2 M 2 + m 3 M 3 .

〈 M 〉 = 3,0 + 1,0 + 8,0 3,0 2,0 ⋅ 10 − 3 + 1,0 4,0 ⋅ 10 − 3 + 8,0 32 ⋅ 10 − 3 =

= 6,0 ⋅ 10 − 3 кг/моль = 6,0 г/моль .

Пример 27. Плотность смеси газов, состоящей из гелия и водорода, при давлении 3,50 МПа и температуре 300 К, равна 4,50 кг/м 3 . Определить массу гелия в 4,00 м 3 смеси. Молярные массы водорода и гелия равны 0,002 и 0,004 кг/моль соответственно.

Решение . Чтобы найти массу гелия m ₂ в указанном объеме, необходимо определить плотность гелия в смеси:

где ρ 2 — плотность гелия; V — объем смеси газов.

Плотность смеси определяется как сумма плотностей водорода и гелия:

где ρ₁ — плотность водорода.

Однако записанная формула содержит две неизвестные величины — плотности водорода и гелия. Для определения указанных величин требуется еще одно уравнение, в которое входят плотности водорода и гелия.

Запишем закон Дальтона для давления смеси газов:

где p ₁ — давление водорода; p ₂ — давление гелия.

Для определения давлений газов запишем уравнение состояния в следующей форме:

p 1 = ρ 1 R T M 1 ,

p 2 = ρ 2 R T M 2 ,

где R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура смеси; M ₁ — молярная масса водорода; M ₂ — молярная масса гелия.

Подстановка выражений для давлений водорода и гелия в закон Дальтона дает

p = ρ 1 R T M 1 + ρ 2 R T M 2 .

Получено еще одно уравнение с двумя неизвестными величинами — плотностью водорода и плотностью гелия.

Формулы для расчета плотности и давления смеси образуют систему уравнений:

ρ = ρ 1 + ρ 2 , p = ρ 1 R T M 1 + ρ 2 R T M 2 , >

которую требуется решить относительно плотности гелия.

Для этого выразим плотности водорода из первого и второго уравнений

ρ 1 = ρ − ρ 2 , ρ 1 = M 1 R T ( p − ρ 2 R T M 2 ) >

и приравняем их правые части:

ρ − ρ 2 = M 1 R T ( p − ρ 2 R T M 2 ) .

ρ 2 = M 2 M 2 − M 1 ( ρ − p M 1 R T ) .

Подставим полученное выражение в формулу для вычисления массы гелия

m 2 = M 2 V M 2 − M 1 ( ρ − p M 1 R T )

и произведем расчет:

m 2 = 0,004 ⋅ 4,00 0,004 − 0,002 ( 4,50 − 3,50 ⋅ 10 6 0,002 8,31 ⋅ 300 ) ≈ 13,6 кг.

Масса гелия в указанном объеме смеси составляет 13,6 кг.

• Главная &nbsp / &nbspТеплотехникаТехническая термодинамика
• Расчет смеси газов

Задача 229

Условие: Произвести расчет термодинамических параметров газовой смеси, совершающей изобарное расширение до объема V2 , если известны начальная температура t1=50ºC, начальное давление р1=3 МПа и масса Мсм=4 кг. Определить газовую постоянную и кажущуюся молекулярную массу, начальный объем V1 , основные параметры в конечном состоянии, изменение внутренней энергии, энтальпии, энтропии, теплоту и работу расширения в процессе 1-2. При определении молярной массы и газовой постоянной обратить внимание на способ задания смеси. Теплоемкость компонентов смеси рассчитать с использованием закона Майера. Для расчета параметров состояния использовать уравнения состояния идеальных газов. — Правильность вычисления энергетических параметров контролировать по выполнению 1 закона термодинамики. Состав газовой смеси по объему: Cp=96, 06%; C2p=2, 0%; C3H8=0, 3%; C4h20=0, 01%; C5h22=0, 1%; N2=1, 0%; CO2=0, 1%; h3O = 0, 43%; ρ=V2/V1=3, 5.

Условие: По заданному составу газовой смеси расчитать: кажущуюся (среднюю) молекулярную массу смеси, газовую постоянную, плотность, среднюю массовую теплоемкость смеси при постоянном давлении в пределах температур от t1=100ºC до t2=835ºC ,колличество тепла,полученное газовой смесью при её нагревании от t1=100ºC до t2=835ºC. Массовая доля азота — 0,6; воды — 0,2; углекислого газа — 0,2. Обьем смеси V =300 м3, давление — р1=3 бар.

Задача 111

Условие: Произвести расчет термодинамических параметров газовой смеси, совершающей изобарное расширение до объема V2 , если известны начальная температура t1=70ºC, начальное давление р1=5 МПа и масса Мсм=2 кг. Определить газовую постоянную и кажущуюся молекулярную массу, начальный объем V1 , основные параметры в конечном состоянии, изменение внутренней энергии, энтальпии, энтропии, теплоту и работу расширения в процессе 1-2.- При определении молярной массы и газовой постоянной обратить внимание на способ задания смеси. — Теплоемкость компонентов смеси рассчитать с использованием закона Майера.- Для расчета параметров состояния использовать уравнения состояния идеальных газов.- Правильность вычисления энергетических параметров контролировать по выполнению 1 закона термодинамики. Состав газовой смеси по объему: Cp=94, 2%; C2p=3, 0%; C3H8=0, 9%; C4h20=0, 17%;
C5h22=0, 22%; N2=0, 9%; CO2=0, 3%; h3O = 0, 31%; ρ=V2/V1=3, 5.

1.5. Смеси газов

Возникает естественный вопрос: какими уравнениями описываются смеси идеальных газов? Ведь с чистыми газами нам редко приходится встречаться в природе. Например, наша естественная среда обитания — воздух — состоит из азота N₂ (78,08 %), кислорода O₂ (20,95 %), инертных газов (0,94 %), углекислого газа СO₂ (0,03 %).

Пусть в некотором объеме V при некоторой температуре Т содержится смесь газов (которые мы будем нумеровать
индексом i ). Роль каждого компонента смеси будем характеризовать массовой долей:

где m_i — масса i-го компонента. Наша задача — написать уравнение, подобное уравнению Клапейрона — Менделеева, и разобраться с эффективным числом степеней свободы смеси, где могут содержаться и одноатомные, и многоатомные молекулы.

Прежде всего, заметим, что мы рассматриваем идеальные газы. Молекулы не взаимодействуют друг с другом, и потому каждый компонент не мешает любому другому «жить» в том же общем сосуде. Различные газы в сосуде, в силу их предполагаемой идеальности, просто «не замечают» друг друга. Поэтому для каждого из компонентов справедливо одно и то же уравнение Клапейрона — Менделеева:

где n_i — число молей вещества в i -м компоненте. Полное число n молей в смеси равно сумме числа молей n_i в каждом из компонентов:

Аналогично, полная масса смеси равна сумме масс каждого из компонентов

и естественно определить молярную массу смеси m как массу одного моля смеси:

Введем величину, называемую парциальным давлением.

Парциальное давление p_i — это давление, оказываемое i-м компонентом газовой смеси.

Имеет место закон Дальтона для газовой смеси:

Полное давление газовой смеси равно сумме всех парциальных давлений